Puissance - Propriétés

Propriété

Soit \(a\in \mathbb{R}^*\), \(n\in \mathbb{Z}\) et \(m\in \mathbb{Z}\) . Alors, on a :

• \(a^n\times a^m=a^{n+m}\)
  
• \((a^n)^m=a^{n\times m}\)
  
• \(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
  

Exemples

• \(\quad 2^3\times2^5=2^{3+5}=2^8\)
  
• \(\quad 10^5 \times 10^6=10^{5+6}=10^{11}\)
  
• \(\quad 3^4=3^{3+1}=3^3\times 3^1=3^3\times 3\)
  
• \(\quad 5\times5^4\times 5^2=5^{1+4+2}=5^7\)
  
• \(\quad (2^2)^4=2^{2\times 4}=2^8\)
  
• \(\quad \dfrac{3}{3^5}=3^{1-5}=3^{-4}\)
  

Remarque

Comment écrire autrement ce calcul `3^20+3^21` ?
`3^20+3^21=3^20+3^{1+20}=3^20\times 1+3^1\times 3^20=3^20(1+3^1)=3^20\times 4`.

Propriété

Soit \(a\in\mathbb{R}^*\) ; \(b\in \mathbb{R}^*\) et \(n\in \mathbb{Z}\). Alors, on a :

• \((a\times b)^n=a^n\times b^n\)
• \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
  

Exemples

• \(\quad (3\times x)^2=3^2\times x^2=9x^2\) , où \(x\) est un réel non nul.
• \(\quad \left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2^3}{3^3}=\dfrac{8}{27}\)
  

Propriété et définition

Tout nombre décimal non nul peut s'écrire sous la forme \(a\times 10^n\) où \(1\leq |a| <10\) et \(n\in \mathbb{Z}\).
C'est l'écriture scientifique de ce nombre.

Exemples

• \(\quad 3876,4189=3,8764189\times 10^3\)
  \(3,8764189\times 10^3\) est l'écriture scientifique du nombre \(3876,4189\).
  
• \(\quad -0,0006=-6\times10^{-4}\)
  \(-6\times10^{-4}\) est l'écriture scientifique du nombre  \(-0,0006\).